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证明In(n+2)Inn<[In(n+1)]^2
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解：证明In(n+2)Inn<[In(n+1)]^2 即证明证明In(n+2)/In(n+1)<In(n+1)/Inn，只需证明f（x）=In(x+1)/Inx在x＞2时单调减，因为f‘（x）=[xlnx-(x+1)ln(x+1)]/[x(x+1)(lnx)]＜0，x＞2.原式得证。
n→∞时，ln(n+2)-lnn=ln(1+2/n)等价于2/n，所以原极限＝lim n×2/n=2
lim{n[In(n+2)-Inn]}=lim{n[In（1+2/n)]}=lim{n*(2/n)}=2，当s趋向于无穷小时，sin（x）/x=1，同理，n趋向于无穷大，(pai/n)趋向于无穷小，则lim根号下pai*[sin(pai/n)/(pai/n)]=根号下pai
=lnn+ln[(n+1)(n+2)/6]很容易证明n>=4时, (n+1)(n+2)/6<(n-1)!所以ln[(n+1)(n+2)/6]<ln[(n-1)!]=ln2+ln3+...+ln(n-1)所以lnn+ln[(n+1)(n+2)/6]<ln2+ln3+...+ln(n-1)+lnn 所以11/6-(1/n+1/(n+1)+1(n+2))<ln2+ln3+...+ln(n-1)+...
ln (n+1)/n < 1/n 各式相加得 ln (n+1) < 1+1/2+1/3+……+1/n 2、令g(x)= lnx - (1- 1/x) ，x>1 g'(x) = 1/x - 1/x² = 1/x (1 - 1/x) >0 g(x)是增函数 ∴g(x) > g(1) = 0 即 lnx > 1 - 1/x 分别令x =2，3/2，4/3，……，...
n->无穷 lim (1/n)^(1/(1+2Inn))=e^lim[ln(1/n)/(1+2lnn)]=e^lim -lnn/(1+2lnn)=e^(-1/2)
Inn-n^1/2）<0，设f（x）=（Inn-n^1/2），则f'（x）=（2-n^1/2）/2n，即当0<x<4时，f'（x）>0，即f（x）为增函数，当x>4时，f'（x）<0，即f（x）为减函数，可知x=4为f（x）的最大值，f（4）=In4-2<0，因为e^2>4，即可得证f（x）<f（4）<0 ...
证明 不太明白楼主前面说的有神魔用 过程 首先证明Inn/(n^4)<1/2en(n-1） n>1 Inn/(n^4)<n/n^4=1/n^3=1/n*n*n<1/2e(n-1)所以 Inn/(n^4)<1/2en(n-1）那么不等式左边=In2/(2^4)+In3/(3^4)……+Inn/(n^4)<1/2e(1/2*1+1/3*2+……+1/n*(n-1))=...