求三重积分∫∫∫y√(1-x^2)dv,式中Ω是由曲面y=-√(1-x^2-z^2),x...

则原积分=∫∫∫D1【√xx+yy+zz-1】dV +∫∫∫D3【√xx+yy+zz-1】dV+∫∫∫D4【1-√xx+yy+zz】dV =∫〔0到2π〕dt∫〔1/√2到1〕rdr∫〔r到1〕【√rr+zz-1】dz +∫〔0到2π〕dt∫〔0到1/√2〕rdr∫〔√1-r到1〕【√rr+zz-1】dz +∫〔0到2π〕dt∫〔0到1/...

考虑zOx面的积分 Ω为一个钟形的立体，底面是下半球体，顶点是平面 - √(1 - x² - z²) ≤ y ≤ 1 Dzx为圆域：x² + z² ≤ 1，- 1 ≤ x,z ≤ 1 ∫∫∫_(Ω) y√(1 - x²) dydzdx = ∫∫_(Dzx) √(1 - x²) dzdx ∫(- √...

∫∫∫Ω y√(1 - x^2) dV = ∫∫∫(左半球体) y√(1 - x^2) dV + ∫∫∫(右圆柱体) y√(1 - x^2) dV { z = rcosθ，x = rsinθ，y = y = ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r dr ∫(- √(1 - r^2)→0) y√(1 - r^2sin^2θ) dy + ∫(0→2π) d...

如图所示：

根号下1-x^2的积分为1/2*arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C。解：∫√(1-x^2)dx 令x=sint，那么 ∫√(1-x^2)dx=∫√(1-(sint)^2)dsint =∫cost*costdt =1/2*∫(1+cos2t)dt =1/2*∫1dt+1/2*∫cos2tdt =t/2+1/4*sin2t+C ...

利用柱坐标积分，具体见下图

利用对称性：∫∫∫Ω(x+z)dv = ∫∫∫Ω(z)dv 换成球坐标：z = r cosφ, x = r sinφ cos θ, y = r sinφ sin θ r from 0 to 1; φ from 0 to pi/4; θ from 0 to 2pi ∫∫∫Ω(z)dv = ∫[0,2pi] d θ ∫[0, pi/4] dφ ∫[0,1] rcosφ r^2...

如图所示：

解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,1/√2>rdr∫<r,√(1-r²)>(rcosθ+z)dz (应用柱面坐标变换)=∫<0,2π>dθ∫<0,1/√2>rdr*[(rcosθ*+z²/2)│<r,√(1-r²)>]=∫<0,2π>dθ∫<0,1/√2>r[(r√(1-r²)-r²)cosθ+1/2-r²]...

利用柱坐标积分，先z后xy，后面就是圆的面积，结果消去z