已知x,y,z为正实数,求证:(x+y+z)^2<=3(x^2+y^2+z^2)

因为x,y,z为正实数 所以x^2+y^2≥2xy，y^2+z^2≥2yz，x^2+z^2≥2xz 则2xy≤x^2+y^2，2yz≤y^2+z^2，2xz≤x^2+z^2 所以 (x+y+z)^2＝x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz ≤x^2+y^2+z^2+（x^2+y^2）+（x^2+z^2）+（y^2+z^2）＝3(x^2+y^2+z^2)（2）...

证明：【1】因为x、y、z都是正数，所以xy、yz、zx都是正数。9=3²=(x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx ＞x²+y²+z²。【2】因为(a-b)²≥0，所以a²+b²≥2ab。9=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx...

解：若x、y、z∈R+,则 依三元均值不等式和柯西不等式得：3(x²+y²+z²)+2/(x+y+z)＝(1²+1²+1²)(x²+y²+z²)+2/(x+y+z)≥(x+y+z)²+1/(x+y+z)+1/(x+y+z)≥3·[(x+y+z)²·1/(x+y+z)·...

由柯西不等式得：（1+1+1)(x^2+y^2+z^2)>=(x+y+z)^2=1 3(x^2+y^2+z^2)>=1 x^2+y^2+z^2>=1/3 所以 x^2>=1/9 ;y^2>=1/9 ;z^2>=1/9 所以 1/ (1+x^2)

常见问题了 试问：分母的系数如果不是1,1,1；而是，其他的正数，也该回求解吧 设

由柯西不等式得：（1+1+1)(x^2+y^2+z^2)>=(x+y+z)^2=1 3(x^2+y^2+z^2)>=1 x^2+y^2+z^2>=1/3 所以 x^2>=1/9 ;y^2>=1/9 ;z^2>=1/9 所以 1/ (1+x^2)<=1/(1+1/9)=9/10 1/ (1+y^2)<=1/(1+1/9)=9/10 1/ (1+z^2)<=1/(1+1/9)...

则（x^2+y^2+z^2)≥75 要使左边取得最小，则要x=y=z时才行，故解得x=y=z=5 （3）因为x,y,z为正实数，则x+y+z≥3倍的（xyz）开三次方 当取得最小值时，x=y=z，则可由第（2）题得最小值x+y+z=15 这不是有很多高中的知识吗！！？哪是初中的，不懂高中可以再看看，这个...

因为x,y,z是正实数，所以x²+y²≥2xy，x²+z²≥2xz，y²+z²≥2yz， xyz＞0 x²+y²+z²≥xy+xz+yz 所以：（x²+y²+z²）/xyz≥（xy+xz+yz）/xyz x/yz+y/zx+z/xy>=1/x+1/y+2/z 两边...

证明：①∵x，y，z均为正实数，∴2x2+（y+z）2-23（x+y+z）2=2x2+(y+z)2?23[x2+2x(y+z)+(y+z)2]=13[4x2?4x(y+z)+(y+z)2]=13(2x+y+z)2＞0，∴2x2+（y+z）2≥23（x+y+z）2；②由①知：2x2+（y+z）2≥23（x+y+z）2，∴12x2+(y+z)2≤32(x+...