高等数学3,4题为什么不能用tanx,sinx等价于x,都得零?

=lim(x→0)(sinx/x)*1/cosx sinx/x极限是1,1/cosx极限也是1 所以lim(x→0)tanx/x=1 所以tanx~x 等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的...

常见的等价无穷小有：sinx~x；tanx~x；arctanx~x；ln（1+x）~x；arcsinx~x；eˣ-1~x；aˣ-1~xlna（a＞0，a≠1）。采用泰勒展开的高阶等价无穷小：sinx=x-(1/6)x^3+o(x^3)cosx=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!+o(x^4)tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)arcsinx=x+(1/...

解答过程为：由泰勒公式可得：tanx=x+x^3/3+o(x^3)sinx=x-x^3/6+o(x^3)则tanx-sinx=x+x^3/3+o(x^3) -（x-x^3/6+o(x^3)）=x^3/2。所以sinx-tanx的等价无穷小为x^3/2。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

例题：limx→0（sinx－tanx）／｛［3√（1＋X＾2）－1］［（1＋sinx）－1］｝ 分母部分可以用等价无穷小替换为“X＾2／3＂和”sinx／3 分母替换是正确的，sinx／3可继续替换为x／3．分子这样做：sinx-tanx=tanx(cosx-1)~x*(-x^2/2)=-x^3/2(x->0)所以最终答案为lim{x->0}(-x...

本题是无穷小比无穷小型不定式；本题用麦克劳林级数展开，是最快捷的计算方法。若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和。

tanx-sinx 通分成(sinx-sinx*cosx)/cosx,根据极限的运算法则（由于分子分母极限都存在），分子分母各取极限，分母趋向于1（COS0=1），分子sinx-sinx*cosx=sinx（1-cosx），当x趋向于0时是一个有界量乘以一个无穷小，因而极限为0（根据有界量与无穷小的乘积仍是无穷小）．

=lim sinx/x+lim tanx/x+lim x/x=lim x/x+lim x/x+lim x/x=1+1+1=3注意因为x->0时sinx/x和tanx/x以及x/x的极限都存在，所以能这样做。如果不满足这个条件，得到的答案十有八九都是错的 所以按照书本指定的做法来做才是万无一失的，既不应该也不需要用这些偏门又危险的做法 ...

拿你的例13来说，你要直接拆开也可以，那就是limtanx/x^3-limsinx/x^3然而你发现出现什么问题？两个极限都是无穷大，无穷大减无穷大是个未定式，拆了半天倒还做不出来了，因而不能拆。尽量少用定理3解题，弊端很大，只有极个别题目不得不涉及到拆分才能做得出来。实际上你书上的例12用洛必达...

注意 x→0的时候不是tanx=x 而是趋于x 这个和等号有本质的不同 你把tanx和sinx都做taylor展开就看清楚了 虽然他们都与x同阶 但是高阶部分不同 两者相减去掉了高阶的部分还剩下三阶的x

2 2016-06-14 为什么极限里tanx-sinx/x³分子不能直接代... 2019-10-09 高数求极限时x能与sinx替换,那x能不能与tanx或cos... 1 2017-04-08 为什么tanX-sinX不能直接等价于X-X? 6 2018-05-28 高等数学 求极限x→0时,sinx可视为x,那tanx和co... 3 更多...