x=sect,那么t=多少x?

＝（令x＝tant，x1＝√3，t＝兀／3，X2＝1，t＝兀／4）∫（兀／4→兀／3）[1／（tant²√（1＋tant²）]sect²dt ＝∫（兀／4→兀／3）sect/tan²tdt ＝∫（兀／4→兀／3）cost/sin²tdt ＝∫（兀／4→兀／3）1／sin²td（sint）＝[－1/...

第一个蓝线：三角换元，令x＝tant 则，dx＝sec平方tdt 约分后，得到sect 第二个蓝线：x＝tant时，cot＝1/x 1/sint＝csct＝根号(1＋cot平方t)代入，将变量换成x 过程如下：

x=tant,t=arctanx,dx=(sect)^2dt 原积分=S1/(sect)^4 *(sect)^2 dt =S(cost)2dt =S(cos2t+1)/2 dt =1/4*sin2t+t/2+c =1/4*2x/(x^2+1)+1/2*arctanx+c =1/2*x/(x^2+1)+1/2*arctanx+c

令x=sect dx=sect tant dt 则x^2-1=sec^2 t -1=tan^2 t ∴√(x^2-1)=tan t 原式化为∫sect tan t dt / sect *tant =∫dt =t +C =arccos(1/x) +C

∫(sect/tant)dt =∫(1/sint)dt =ln|csct-cot(t)| +C =ln|√(1+x²)/x -1/x| +C =ln|[√(1+x²)-1]/x|+C

设sect=x =∫xd(arctanx)=∫x/(1+x^2)*dx =1/2*ln(1+x^2)+C =1/2*ln(1+sec(t)^2)+C 结果经过验算正确

这是先求不定积分，然后代入上下限求定积分。如果每一步都用定积分的格式，就应该随之换积分上下限值，积分出来后，直接计算，省去回代的过程。

x"+x=0的通解为x＝C1cost＋C2sint x"+x=sect的特解可以用常数变易法：设x＝C1(t)cost+C2(t)sint，其中C1(t)和C2(t)是关于t的函数 x'＝C2(t)cost-C1(t)sint+C1'(t)cost+C2'(t)sint 求通解时为了简化，假设x"不出现两个变易函数的二阶导数，有C1'(t)cost+C2'(t)sint=0 然...

第一个式子 x=asect 而 sec^t = tan^t +1 d sect = sect tant dt 第二个式子 d(x^1/2) = 1/2 x^(-1/2)dx 要想让原式不变 ，则需要在外面乘上2

个人觉得，还是哪里方便解题，就使用哪个。